Área de Ciencias de la Computación e I.A.
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
BIFURCACIONES Y CAOS
Departamento de Lenguajes y
Ciencias de la Computación
Programas de doctorado 2000-2002
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Área de Ciencias de la Computación e I.A. UNIVERSIDAD DE MÁLAGA |
BIFURCACIONES Y CAOS Departamento de Lenguajes y
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Docente: Francisco Román Villatoro Machuca (despacho I-323-D)
Programa de Doctorado: Ingeniería de los Sistemas de Producción (E.T.S. Ing. Industriales)
Objetivos:
El objetivo de este curso es el de introducir al alumno de doctorado
a las técnicas que se utilizan para analizar la estabilidad lineal
y no lineal, y las bifurcaciones de sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias y mapas, así como al análisis de series temporales
y caos.
Programa de la Asignatura :
Tema 1. Oscilaciones, métodos perturbativos y resonancias
Dinámica lineal versus no lineal. Soluciones exactas de problemas no lineales. Soluciones aproximadas (asintóticas). Comparación entre métodos de perturbaciones. Oscilaciones forzadas. Método de múltiples escalas. Resonancias internas. Resonancias paramétricas. Oscilaciones de relajación. Explosión (blow-up) de soluciones en tiempo finito.
Tema 2. Estabilidad de Lyapunov
Definiciones de estabilidad. Métodos de Lyapunov para sistemas autónomos. Primer método de Lyapunov para problemas periódicos. Primer método de Lyapunov para problemas no periódicos. Pares de autovalores autoconjugados. Estabilidad de ciclos límite en sistemas autónomos. Existencia de ciclos límite. Teorema de Poincaré-Bendixson.
Tema 3. Mapas
Puntos fijos de mapas. Mapas de Poincaré. Conjuntos límites. Estabilidad de puntos fijos. Exponentes de Lyapunov. Estabilidad estructural.
Tema 4. Nociones de Topología Diferencial y estabilidad estructural
Difeomorfismos. Homeomorfismos. Estabilidad estructural. Transversalidad.
Tema 5. Bifurcaciones
Teorema de la función implícita. Bifurcaciones de pitchfork, Hopf y transcríticas. Bifurcaciones de mapas.
Tema 6. Sistemas hamiltonianos
Principios de mínima acción. Cálculo de variaciones. Formulación lagrangiana y hamiltoniana. Teorema de Liouville. Estocasticidad y teorema KAM.
Tema 7. Sistemas caóticos
Sistemas disipativos. Sensibilidad a las condiciones iniciales. Atractores extraños. Características del comportamiento caótico. Rutas hacia el caos. Detección de caos: espectro de Fourier, mapas de Poincaré, exponentes de Lyapunov y dimensional fractal de los atractores.
Tema 8. Métodos numéricos y métodos de continuación
Métodos multipaso y Runge-Kutta para ecuaciones diferenciales.
Ecuaciones stiff. Métodos implícitos. Detección y
análisis de bifurcaciones en estado estacionario. Continuación
de ramas de bifurcación. Bifurcaciones de Hopf. Cálculo de
autovalores y autovectores. Cálculo de matrices monodrómicas.
Cálculo de exponentes de Lyapunov. Determinación de las mapas
de Poincaré.
Bibliografía
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