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Docente: Francisco Román Villatoro Machuca (despacho I-323-D, Campus del Ejido)
Horario de Clases:
Todo el año: Lunes: 13:00 - 14:30
y Miercoles: 13:00 - 14:30 (Aula M-209)
Tutorías (Campus del Ejido):
Lunes de 18:00 a 20:00 horas, y, Viernes de 10:30 a 13:00
horas
Objetivos: En esta asignatura se pretende introducir al alumno
al análisis numérico de ecuaciones diferenciales ordinarias
y en derivadas parciales, y a métodos de optimización y programación
matemática para problemas de ingeniería industrial tales
como los que aparecen en mecánica de fluidos, redes eléctricas,
circuitos electrónicos, transferencia de masa y calor, mecánica,
etc. Para ecuaciones diferenciales se presentarán los métodos
de Galerkin y de elementos finitos. En cuanto a los temas de investigación
operativa se presentarán las técnicas de optimización
no lineal con y sin restricciones basadas en el método de Newton
y las técnicas de optimización lineal con el algoritmo del
SIMPLEX. Se simultanearán clases magistrales con clases de problemas..
Evaluación: Se preven dos exámenes parciales liberatorios, y un examen final.
Actividades académicas complementarias: Ejercicios y trabajos de programación voluntarios. Se propondrán relaciones de problemas relativos a cada tema, cuya solución deberá ser entregada una semana después de su entrega, tras lo cual serán corregidos en clase los problemas más "difíciles" o "representativos". Además se propondrán trabajos de programación voluntarios en los que se aplicarán las técnicas matemáticas presentadas en la asignatura a problemas de ingeniería de mayor entidad, lo que requerirá el desarrollo de una aplicación (se recomienda MATLAB) para su adecuada resolución.
Libro de texto recomendado
Para facilitar el estudio de la asignatura se seguirá el orden de exposición de temas de los siguientes libros de texto:
[EEHJ] K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo and C. Johnson, "Computational Differential Equations", Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
[W] W.L. Winston, "Operations Research. Applications and Algorithms," Duxbury Press, Belmont, California, 1994. Está traducido al castellano.
Programa de la asignatura:
Nota: los apartados marcados con * son de mayor dificultad y no serán objeto de examen.
Tema 1. Introducción a métodos matemáticos y técnicas computacionales en la ingeniería.
1.1. Métodos matemáticos para ingenieros
1.2. Breve historia de las técnicas computacionales
1.3. Justificación del temario
[EEHJ] Cap. 1, Cap. 2, Cap. 12, [J] Cap. 0.
Tema 2. Repaso de álgebra, cálculo, ampliación de matemáticas y técnicas computacionales
2.1. De las funciones a las ecuaciones diferenciales
2.2. Demostración del teorema fundamental del cálculo
2.3. Espacios vectoriales y normados. Normas de matrices
2.4. Espacios vectoriales de funciones
2.5. Espacios vectoriales de polinomios e interpolación
2.6. Espacios vectoriales de polinomios a trozos e interpolación
2.7. Espacios vectoriales de polinomios trigonométricos y aproximación
[EEHJ] Cap. 3, Cap. 4, Cap. 5.
Tema 3. Métodos de Galerkin para ecuaciones diferenciales ordinarias
3.1. Una visión rápida de los métodos de Galerkin
3.2. Usando polinomios globales
3.3. Usando polinomios a trozos
3.4. Usando polinomios trigonométricos
[EEHJ] Cap. 6.
Tema 4. Métodos iterativos en álgebra lineal y repaso de técnicas computacionales
4.1. Métodos directos para sistemas con matrices en banda
4.2. Métodos iterativos, descenso más rápido y
gradiente conjugado
4.3. Estimación y propagación de errores
[EEHJ] Cap. 7, [J] Cap. 6.1-3, Cap. 7.1-4, 7.7.
Tema 5. Método FEM para ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden
5.1. Método de elementos finitos (FEM)
5.2. Estimación del error y control adaptativo del error
5.3. Elementos finitos de mayor orden
[EEHJ] Cap. 8, [J] Cap. 1.1-3.
Tema 6. Método FEM para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
6.1. Cálculo de variaciones y algunos problemas físicos
6.2. Método de elementos finitos (FEM) para problemas escalares
*6.3. Análisis del error a posteriori y control adaptativo del
error
*6.4. Análisis del error a priori y existencia de soluciones
6.5. Sistemas de ecuaciones y fórmula de Duhamel
6.6. Problemas autónomos y no autónomos. Estabilidad
6.7. Método elementos finitos para sistemas de ecuaciones
*6.8. Análisis de errores y control adaptativo del error
[EEHJ] Cap. 9, Cap. 10.
Tema 7. Introducción al método FEM para ecuaciones en derivadas parciales
7.1. Repaso de cálculo en varias variables
7.2. Integración y fórmulas de Green
7.3. Generación de mallas en varias dimensiones
7.4. Espacio vectorial de los polinomios a trozos en varias dimensiones
7.5. Estimación de errores en interpolación con
polinomios a trozos
7.6. Integración en varias dimensiones
[EEHJ] Cap. 13, Cap. 14.
Tema 8. Método FEM para ecuaciones elípticas. Ecuación de Poisson
8.1. Problemas elípticos en física e ingeniería
8.2. Método de elementos finitos para la ecuación de
Poisson
*8.3. Estimación de error a posteriori y control adaptativo
del error
8.4. Tratamiento de diferentes condiciones de contorno
[EEHJ] Cap. 15, [J] Cap. 1.4-9, Cap. 4.1-4.
Tema 9. Método FEM para ecuaciones parabólicas. Ecuación del calor
9.1. Problemas parabólicos en física e ingeniería
9.2. Método de elementos finitos para la ecuación del
calor
9.3. Estabilidad y caracterización de las soluciones
*9.4. Estimación de error y control adaptativo del error
[EEHJ] Cap. 16, [J] Cap. 8.
Tema 10. Método FEM para ecuaciones hiperbólicas. Ecuación de ondas
10.1. Problemas hiperbólicos en física e ingeniería
10.2. Método FEM para la ecuación de ondas unidimensional
10.3. Método FEM para la ecuación de ondas en el
espacio
*10.4. Estimaciones del error y control adaptativo del error
[EEHJ] Cap. 16, [J] Cap. 8.
Tema 11. Ecuaciones en derivadas parciales no lineales
*11.1. Problemas estacionarios de convección-difusión
*11.2. Problemas de convección-difusión dependientes
del tiempo
*11.3. Problemas de autovalores y vibraciones de membranas
*11.4. Ecuaciones de Euler para fluidos no viscosos
[EEHJ] Cap. 18, Cap. 19, Cap. 20, [J] Cap. 13.
Tema 12. Principios y problemas variacionales
12.1. Principios variacionales de Hamilton
12.2. Formulación abstracta de problemas variacionales
*12.3. Teorema de Lax-Milgram
*12.4. Método de Galerkin abstracto y sus aplicaciones
[EEHJ] Cap. 21.
Tema 13. Optimización no lineal sin restricciones
13.1. Optimización sin restricciones con una variable
13.2. Optimización con restricciones con varias variables
13.3. Métodos de Newton y del descenso más rápido
[W] Cap. 12.1-6.
Tema 14. Optimización no lineal con restricciones
14.1. Principios para la búsqueda de óptimos globales
14.2. Modelos con restricciones de igualdad. Multiplicadores de Lagrange
*14.3. Modelos generales. Condiciones de Kuhn-Tucker
[EEHJ] Cap. 12.7-9.
Tema 15. Programación lineal. SIMPLEX. Análisis de redes
15.1. Programación lineal
15.2. Método gráfico. Algunos problemas típicos
en ingeniería
15.3. Método SIMPLEX y su justificación
15.4. Casos anómalos y otras formulaciones del problema
15.5. Análisis de redes y modelos de transporte
*15.6. Análisis de sensibilidad y problema dual
[W] Cap. 4, Cap. 6, Cap. 8.
Tema 16. Programación entera y teoría de la decisión multicriterio
*16.1. Programación lineal entera
*16.2. Método de Branch-and-Bound
*16.3. Principios básicos de la teoría de la decisión
multicriterio
*16.4. Öptimos de Pareto y programación multiobjetivo
[EEHJ] Cap. 9, Cap. 14.
Bibliografía complementaria recomendada
[J] C. Johnson, "Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method," Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
R. Wait and A.R. Mitchell, "Finite Element Analysis and Applications," John Wiley and Sons, Chichester, 1985.
E. Becker, G. F. Carey and J.T. Oden, "Finite Elements: An Introduction," Vol. I, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1983.
B. Finlayson, "The Method of Weighted Residuals," Academic Press, New York, 1973.
T.R. Chandrupatla and A.D. Belegundu, "Introduction to Finite Elements in Engineering," Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.
D.S. Burnett, "Finite Element Analysis: from Concepts to Applications," Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, 1987.
L. Elsgolts, "Differential Equations and the Calculus of Variations," MIR, Moscow, 1977.
G. L. Nemhauser, "Optimization," North-Holland, 1990.
Epílogo
Las tendencias actuales en una enseñanza universitaria de calidad dan menos importancia que antes a la transmisión de unos contenidos, por lo demás en continuo cambio y revisión, y expresan, en cambio, mayor interés por la adquisición, por parte del alumno, de técnicas y hábitos de estudio, de capacidad de análisis crítico, de inventar y descubrir, etc. En suma, ponen el énfasis en que el estudiante aprenda a aprender.