Área de Ciencias de la Computación e I.A.
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
MÉTODOS MATEMÁTICOS Y 
TÉCNICAS COMPUTACIONALES
Departamento de Lenguajes y 
Ciencias de la Computación
Curso 1999/2000

Docente: Francisco Román Villatoro Machuca (despacho I-323-D)

Horario de Clases:
 Todo el año: Lunes: 13:00 - 14:30 y Miercoles: 13:00 - 14:30  (Aula M-209)

Tutorías:
 Lunes 19:00 a 20:30, Martes de 10:30 a 13:00 horas, Viernes de 11:30 a 12:30 horas

Objetivos:
En esta asignatura se pretende introducir al alumno al análisis numérico de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, y a la investigación operativa para problemas de ingeniería industrial tales como los que aparecen en mecánica de fluidos, redes eléctricas, circuitos electrónicos, transferencia de masa y calor, mecánica, etc. Para ecuaciones diferenciales se presentarán los métodos de diferencias finitas, de Galerkin y de elementos finitos. En cuanto a los temas de investigación operativa se presentarán las técnicas de optimización no lineal con y sin restricciones basadas en el método de Newton y las técnicas de optimización lineal con el algoritmo del SIMPLEX. Se simultanearán clases magistrales con clases de problemas.

Evaluación:
Se preven dos exámenes parciales liberatorios, y un examen final.
Actividades académicas complementarias: Ejercicios y trabajos de programación voluntarios. Se propondrán relaciones de problemas relativos a cada tema, cuya solución deberá ser entregada una semana después de su entrega, tras lo cual serán corregidos en clase los problemas más “difíciles” o “representativos”. Además se propondrán trabajos de programación voluntarios en los que se aplicarán las técnicas matemáticas presentadas en la asignatura a problemas de ingeniería de mayor entidad, lo que requerirá el desarrollo de una aplicación (se recomienda MATLAB) para su adecuada resolución.
Libros de texto básicos recomendados

    [MG] Mitchell, A.R. and Griffiths, D.F. "The Finite Difference Method in Partial Differential Equations". John Wiley & Sons. 1980.

    [S] Smith, G.D. "Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods" (3rd ed.). Oxford University Press. 1985.
    [EEHJ] K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo and C. Johnson, "Computational Differential Equations", Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
    [W] W.L. Winston, “Operations Research. Applications and Algorithms,” Duxbury Press, Belmont, California, 1994. Está traducido al castellano.

 Programa de la Asignatura :

Nota: los apartados marcados con * son de mayor dificultad y no serán objeto de examen

PRIMER PARCIAL

Tema 1. Introducción a la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales
   1.1. Importancia de las ecuaciones en derivadas parciales en ingenieria
   1.2. Resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias
   1.3. Resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales
   1.4. Aplicaciones más relevantes

 [MG] Cap. 1, [S] Cap. 1, [EEHJ] Cap. 1, Cap. 2, Cap. 12.

2. Repaso de Álgebra Lineal
   2.1. Espacios vectoriales y matrices
   2.2. Normas de vectores y matrices
   2.3. Radio espectral y convergencia de sucesiones de matrices

 [MG] Cap. 1, [EEHJ] Cap. 3, Cap. 4, [W] Cap. 2.

3. Ecuaciones de difusión o parabólicas
   3.1. Ecuaciones parabólicas en una dimensión
   3.2. Derivación de fórmulas en diferencias finitas
   3.3. Solución de sistemas tridiagonales
   3.4. Convergencia y estabilidad
   3.5. Tratamiento de las condiciones de contorno
   3.6. Ecuaciones parabólicas en dos dimensiones
   3.7. Estabilidad de métodos explícitos
   3.8. Métodos implícitos de dirección alternada
   3.9. Métodos localmente unidimensionales
   3.10. Métodos Hopscotch
   3.11. Tratamiento de derivadas mixtas
   3.12. Ecuaciones parabólicas en tres dimensiones
   3.13. Métodos explícitos
   3.14. Métodos implícitos
   3.15. Métodos de varios pasos
   3.16. Ecuaciones no lineales

 [MG] Cap. 2, [S] Cap. 2 y 3, [EEHJ] Cap. 8, Cap. 16.

4. Ecuaciones de campos o elípticas
   4.1. Ecuaciones elípticas en dos dimensiones
   4.2. Condiciones de contorno para la ecuación de Laplace
   4.3. Regiones no rectangulares
   4.4. Ecuaciones elípticas auto-adjuntas
   4.5. Propiedades generales de las fórmulas en diferencias
   4.6. Tratamiento de derivadas mixtas
   4.7. Ecuación biarmónica
   4.8. Solución de ecuaciones en diferencias elípticas
   4.9. Métodos directos e iterativos para sistemas lineales
   4.10. Métodos de dirección alternada
   4.11. Gradiente conjugado y métodos relacionados
   4.12. Problemas de valores propios

 [MG] Cap. 3, [S] Cap. 5, [EEHJ] Cap. 8 y 9, Cap. 15.

5. Ecuaciones de onda o hiperbólicas
   5.1. Ecuaciones hiperbólicas de primer orden
   5.2. Esquemas en diferencias explícitos e implícitos
   5.3. Sistemas de ecuaciones hiperbólicas de primer orden en una dimensión
   5.4. Sistemas conservativos o de leyes de conservación
   5.5. Sistemas de ecuaciones hiperbólicas de primer orden en dos dimensiones
   5.6. Sistemas conservativos en dos dimensiones
   5.7. Dispersión y pérdidas en la propagación de ondas
   5.8. Estabilidad de problemas de valores iniciales y en el contorno
   5.9. Inestabilidades no lineales
   5.10. Ecuaciones de segundo orden en una dimensión
   5.11. Ecuaciones de segundo orden en dos dimensiones

 [MG] Cap. 4, [S] Cap. 4, [EEHJ] Cap. 9, Cap. 17.

6. Métodos de Galerkin y de elementos finitos
   6.1. Ecuaciones elípticas y formulación variacional
   6.2. Problemas de contorno de dos puntos
   6.3. Métodos de Galerkin y de Petrov-Galerkin
   6.4. Métodos de Galerkin semi-discretos
   6.5. Métodos de elementos finitos
   6.6. Tratamiento de múltiples dimensiones espaciales
   6.7. Discretización del tiempo
   6.8. Problemas no lineales

 [MG] Cap. 5, [EEHJ] Cap. 8 y 9, Cap. 15 al 17.

*7. Aplicaciones
   *7.1. Tratamiento de singularidades en esquinas y en el contorno
   *7.2. Flujo viscoso incompresible
   *7.3. Flujo compresible no viscoso
   *7.4. Otros modelos de fluidos
   *7.5. Ecuaciones de aguas someras
   *7.6. Problemas con contornos libres y en movimiento
   *7.7. Problemas de convección-difusión

 [MG] Cap. 6, [EEHJ] Cap. 18 al 20.

 SEGUNDO PARCIAL

8. Introducción al modelado de sistemas
   8.1. Importancia y fases del modelado de sistemas
   8.2. Modelado en investigación operativa
   8.3. Historia y aplicaciones de la investigación operativa

 [W] Cap. 1.
 
9. Programación lineal y SIMPLEX
   9.1. Definición de problemas de programación lineal
   9.2. Método gráfico
   9.3. Método del SIMPLEX
   9.4. Métodos de la M grande y de las dos fases
   9.5. Análisis de sensibilidad y problema dual
   9.6. Cambios en los recursos
   9.7. Cambios en los costes

 [W] Cap. 3, 4, 5 y 6.

10. Programación de redes y modelos de transporte
   10.1. Análisis de redes
   10.2. Problemas de transporte
   10.3. Problemas de asignación

 [W] Cap. 7.

11. Redes de actividades: métodos PERT y CPM
   11.1. Problemas de flujo de redes
   11.2. Método PERT
   11.2. Método CPM

 [W] Cap. 8.

12. Técnicas computacionales en optimización combinatoria
   12.1. Programación lineal entera
   12.2. Método de "branch and bound"
   12.1. Programación combinatoria

 [W] Cap. 9.

13. Optimización no lineal sin restricciones
   13.1. Optimización sin restricciones en una dimensión
   13.2. Optimización sin restricciones en varias dimensiones
   13.3. Métodos numéricos para una dimensión
   13.4. Método del gradiente y del descenso más rápido

 [W] Cap. 11 y 12.1-7.
 14. Optimización no lineal con restricciones
   14.1. Introducción gráfica
   14.2. Principios y teoremas para la búsqueda de óptimos globales
   14.3. Modelos con restricciones de igualdad: multiplicadores de Lagrange
   14.4. Modelos más generales: condiciones de Murray-Hill
   14.5. Restricciones de positividad: condiciones de Kuhn-Tucker
   14.6. Algoritmos numéricos básicos
   14.7. Método de las direcciones factibles

 [W] Cap. 12.8-11.

15. Procesos estocásticos y cadenas de Markov
   15.1. Procesos estocásticos
   15.2. Cadenas de Markov
   15.3. Probabilidades después de n pasos
   15.4. Clasificación de estados en una cadena de Markov
   15.5. Probabilidades en estado estacionario
   15.6. Tipos de problemas (cuota de mercado, inventario, ...)

 [W] Cap. 19.

16. Teoría de colas y fenómenos de espera
   16.1. Notación y terminología
   16.2. Procesos de nacimiento y muerto. Modelo M/M/1
   16.3. Análisis de modelos
   16.4. Construcción de modelos mediante distribucioens de probabilidad

 [W] Cap. 22.

17. Técnicas de simulación mediante el método de Montecarlo
   17.1. Cálculo de intergrales mediante métodos de Montecarlo
   17.2. Resolución de ecuaciones continuas
   17.3. Resolución de ecuaciones discretas
   17.4. Generación de números aleatorios: fenómeno de Marsaglia
   17.5. Generación de variables aleatorias

 [W] Cap. 23.
 

Bibliografía complementaria recomendada

[J] C. Johnson, “Numerical solution of partial differential equations by the finite element method,” Cambridge University Press, Cambridge, 1987.

Ames, W.F. "Numerical Methods for Partial Differential Equations". Academic Press 1977.
 
Lapidus, L. and Pinder, G.F. "Numerical Solution of Partial Differential Equations in Science and Engineering". John Wiley & Sons, 1980.
Becker, E., Carey, G.F. and Oden, J.T. "Finite Elements: An Introduction" (Vol. 1). Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1983.

Carey, G.F. and Oden, J.T. "Finite Elements: A Second Course" (Vol. 2). Prentice-Hall. 1983.

R. Wait and A.R. Mitchell, “Finite Element Analysis and Applications ,” John Wiley and Sons, Chichester, 1985.
B. Finlayson, "The Method of Weighted Residuals", Academic Press, New York, 1973.
T.R. Chandrupatla and A.D. Belegundu, "Introduction to Finite Elements in Engineering," Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1991.
 D.S. Burnett, "Finite Element Analysis:  from Concepts to Applications," Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Massachusetts, 1987.

Hillier, F. and Lieberman, G.J. "Introducción a la Investigación de Operaciones". McGraw-Hill. 1991.

 L. Elsgolts, “Differential Equations and the Calculus of Variations”, MIR, Moscow, 1977. Está traducido al castellano.

L. Nemhauser, "Optimization", North-Holland, 1990.

Papoulis, A. "Probability, Random Variables, and Stochastic Processes" (3rd ed.). McGraw-Hill International Editions, 1991. Está traducido al castellano.