Área de Ciencias de la Computación e I.A.
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
TÉCNICAS NUMÉRICAS
Departamento de Lenguajes y 
Ciencias de la Computación
Curso 1998/1999
 
 

Docente: Francisco Román Villatoro Machuca (despacho I-323-D, Campus del Ejido)

Horario de Clases:
 Primer Cuatrimestre: Lunes: 15:00 - 16:30 y Viernes: 18:30 - 20:00  (Aula A-001)
 Segundo Cuatrimestre: Lunes: 15:00 - 17:00 (Aula A-001)

Tutorías (Campus del Ejido):
 Lunes de 18:00 a 20:00 horas, y,  Viernes de 10:30 a 13:00 horas

Objetivos: En esta asignatura se pretende introducir al alumno al análisis y a los métodos numéricos para la resolución de ecuaciones algebraicas lineales y no lineales, ecuaciones diferenciales ordinarias, integrales, aproximación de funciones por polinomios y mínimos cuadrados, e interpolación. Puesto que el análisis y los métodos numéricos tienen una base matemática, la presentación de los temas de la asignatura estará basada en matemática aplicada, pero los ejemplos empleados para introducir los distintos temas y los ejemplos de los ejercicios serán de problemas de ingeniería y de otras asignaturas tales como mecánica de fluidos, electrotecnia, transferencia de masa y calor, mecánica, etc..

Evaluación: Se preven dos exámenes parciales liberatorios, y un examen final.

Actividades académicas complementarias: Ejercicios y trabajos de programación voluntarios. Se propondrán relaciones de problemas relativos a cada tema, cuya solución deberá ser entregada una semana después de su entrega, tras lo cual serán corregidos en clase los problemas más "difíciles" o "representativos". Además se propondrán trabajos de programación voluntarios en los que se aplicarán las técnicas numéricas presentadas en la asignatura a problemas de ingeniería de mayor entidad, lo que requerirá el desarrollo de una aplicación (se recomienda MATLAB) para su adecuada resolución.

Libro de texto recomendado:

Para la totalidad de la asignatura se recomienda el libro de Kincaid-Cheney, que además de estar traducido, por su nivel es el que más se adecúa al contenido de la asignatura.

 [KCh] David Kincaid and Ward Cheney, "Análisis Numérico: Las Matemáticas del Cálculo Científico", Addison-Wesley Iberoamericana, S.A., Wilmington, Delaware, 1994. A. Ciencias FC519.6 (2 ej.), A. Ingeniería E/M-7-d/k (11 ej.)
 

 Programa de la Asignatura :

Tema 1. Introducción.

1.1. Repaso breve de cálculo y álgebra
1.2. Técnicas numéricas y método científico
1.3. Justificación del temario

 [KCh] Cap. 1.

Tema 2. Aritmética de ordenadores y análisis de errores

2.1. Representación de números. Regla de Horner
2.2. Arimética de ordenadores. Operaciones en punto flotante
2.3. Análisis de errores hacia adelante y hacia atrás
2.4. Cancelación catastrófica, propagación de errores, condicionamiento y estabilidad
2.5. Estimación de errores. Inestabilidades matemáticas, físicas y numéricas

 [KCh] Cap. 2, [FMM] Cap. 2, [CdB] Cap. 1, [BF] Cap. 1, [SB] Cap. 1.

Tema 3. Productos internos, productos vectoriales, espacios métricos y espacios normados

3.1. Álgebra lineal y problemas físicos
3.2. Repaso de álgebra lineal
3.3. Productos internos y formas canónicas de matrices
3.4. Normas de vectores y matrices

 [KCh] Cap. 4.1, 4.4, [CdB] Cap. 3.1, [BF] Cap. 6, [SB] Cap. 4.

Tema 4. Métodos directos para la resolución de ecuaciones algebraicas lineales

4.1. Regla de Cramer
4.2. Eliminación de Gauss y de Gauss-Jordan
4.3. Factorización LU de Doolittle y Crout
4.4. Factorizaciones de Cholesky
4.5. Análisis de errores y número de condicionamiento
4.6. Errores en el cálculo de la inversa
4.7. Pivotaje parcial y completo, reescalado y matrices de permutación
4.8. Métodos de corrección residual

 [KCh] Cap. 4.2-4,4.8, [FMM] Cap. 3.1-3, [CdB] Cap. 3.2-7, [BF] Cap. 6, [SB] Cap. 4.

Tema 5. Métodos iterativos para la resolución de ecuaciones algebraicas lineales

5.1. Método de Gauss-Jacobi y matrices diagonalmente dominantes
5.2. Método de Gauss-Seidel y matrices simétricas definidas positivas
5.3. Método de sobrerrelajación sucesiva
*5.4. Método del descenso más rápido
*5.5. Método del gradiente conjugado y precondicionamiento
 
 [KCh] Cap. 4.6-7, [FMM] Cap. 3.4, [CdB] Cap. 3.8, [BF] Cap. 7, [SB] Cap. 4.

Tema 6. Solución de ecuaciones no lineales y raíces de polinomios

6.1. Ecuaciones no lineales en problemas físicos
6.2. Ecuaciones no lineales simples
 6.2.1. Método de bisección
 6.2.2. Método de la posición falsa o regula falsi
 6.2.3. Método de Newton-Raphson
 6.2.4. Aceleración de Aitken
* 6.2.5. Método de Steffensen
 6.2.6. Método de la secante
6.3. Métodos de iteración funcional
6.4. Sistemas de ecuaciones no lineales
 6.4.1. Método de Picard á la Gauss-Jacobi
 6.4.2. Método de de Picard á la Gauss-Seidel
 6.4.3. Método de Newton-Raphson y sus modificaciones
 6.4.4. Métodos de continuación
 6.4.5. Métodos de quasi-Newton
 *6.4.6. Optimización y descenso más rápido
6.5. Raíces de polinomios
 6.5.1. Acotaciones de raíces. Reglas de Descartes y de Cauchy
 6.5.2. Método de Horner para el cálculo de polinomios
 6.5.3. Método de Newton-Raphson para raíces reales
 6.5.4. Deflación (reducción) de Maehly
 6.5.5. Método de Müller para raíces complejas
 6.5.6. Método de Graeffe
 *6.5.7. Método de Bernouilli

 [KCh] Cap. 3,[FMM] Cap. 7, [CdB] Cap. 1.7, Cap. 2, [BF] Cap. 2, [SB] Cap. 5.

Tema 7. Aproximación de funciones e interpolación

7.1. Aproximación de funciones e interpolación en problemas físicos
7.2. Interpolación polinómica global
 7.2.1. Interpolación de Lagrange
 7.2.2. Errores de redondeo
 7.2.3. Diferencias divididas de Newton
 7.2.4. Interpolación en tablas
 7.2.5. Errores en la interpolación en tablas
 7.2.6. Interpolación osculatoria o de Hermite
7.3. Interpolación polinómica local
 7.3.1. Polinomios a trozos y splines
 7.3.2. Interpolación mediante splines cúbicas
 7.3.3. Condiciones de contorno en los extremos del intervalo
 7.3.4. Introducción a las B-splines
7.4. Interpolación trigonométrica
 7.5. Aproximación de funciones
 7.5.1. Aproximación por polinomios. Teorema de Weierstrass
 7.5.2. Teoría de Sturm-Liouville
 7.5.3. Funciones trigonométricas, de Legendre, Bessel, Hermite y Chebyshev
 7.5.4. Polinomios ortogonales de Legendre
 7.5.5. Polinomios ortogonales de Chebyshev
 7.5.6. Aproximaciones continuas mediante mínimos cuadrados
 7.5.7. Aproximaciones discretas mediante mínimos cuadrados

 [KCh] Cap. 6.1-5,6.7-13,[FMM] Cap. 4, 9.1[CdB] Cap. 4, [BF] Cap. 3, [SB] Cap. 2.

Tema 8. Diferenciación numérica

8.1. Series de Taylor y diferencias finitas
8.2. Polinomios de Newton
8.3. Aproximación mínimo cuadrática de Sturm-Liouville
8.4. Propagación de errores

 [KCh] Cap. 7.1,[CdB] Cap. 5.1, [BF] Cap. 4, [SB] Cap. 2.

Tema 9. Integración numérica

9.1. Integración y el teorema fundamental del cálculo
9.2. Integración global o de Newton-Cotes
 9.2.1. Regla del rectángulo
 9.2.2. Regla del trapecio
 9.2.3. Regla de Simpson
9.3. Reglas de integración compuestas
 9.3.1. Reglas del rectángulo y del trapecio
 9.3.2. Regla de Simpson
9.4. Integración gaussiana
 9.4.1. Polinomios ortogonales y teoría de Sturm-Liouville
 9.4.2. Polinomios de Legendre
 9.4.3. Integrales singulares
9.5. Reglas de integración gaussiana compuestas
9.6. Reglas de integración adaptativa
9.7. Extrapolación de Richardson
9.8. Integración de Romberg

 [KCh] Cap. 7.2-7, [FMM] Cap. 5, [CdB] Cap. 5.2-5, [BF] Cap. 4, [SB] Cap. 3.

Tema 10. Problemas de valores iniciales de ecuaciones diferenciales ordinarias

10.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias y problemas físicos
10.2. Métodos en diferencias
 10.2.1. Método de Euler hacia adelante
 10.2.2. Método de Euler hacia atrás
 10.2.3. Método del trapecio o de la regla implícita del punto medio
 10.2.4. Errores de truncado y su interpretación
10.3. Métodos de Taylor
10.4. Métodos de Runge-Kutta explícitos
10.5. Métodos basados en polinomios de Newton
 10.5.1. Métodos implícitos de Adams o de Adams-Moulton
 10.5.2. Métodos explícitos de Adams o de Adams-Bashforth
10.6. Consistencia y estabilidad
10.7. Estabilidad lineal y convergencia
 10.7.1. Método de Euler hacia adelante
 10.7.2. Método de Euler hacia atrás
 10.7.3. Método del trapecio o de la regla implícita del punto medio
 10.7.4. Estabilidad de métodos multipaso. Polinomio característico
 10.7.5. Estabilidad fuerte, débil, absoluta y relativa
 10.7.6. Teorema de equivalencia de Lax
10.8. Método de Newton para ecuaciones en diferencias implícitas
10.9. Métodos predictor-corrector
10.10. Sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden
10.11. Errores de redondeo y problemas stiff
10.12. Estabilidad de sistemas de ecuaciones diferenciales
 
 [KCh] Cap. 8.1-6, [FMM] Cap. 6.1-5, 6.7-8, [CdB] Cap. 6, [BF] Cap. 5, [SB] Cap. 7.

Tema 11. Problemas de contorno de ecuaciones diferenciales ordinarias

11.1. Problemas de contorno y problemas físicos
11.2. Métodos en diferencias
 11.2.1. Condiciones de contorno de Dirichlet
 11.2.2. Condiciones de contorno de Neumann
 11.2.3. Condiciones de contorno de Robin
11.3. Métodos de disparo (shooting)
 11.3.1. Problemas lineales
 11.3.2. Problemas no lineales
11.4. Métodos de residuos compensados
 11.4.1. Métodos de Galerkin
 11.4.2. Técnicas espectrales
 11.4.3. Métodos de elementos finitos
 
 [KCh] Cap. 8.7-12, [FMM] Cap. 6.6, [CdB] Cap. 7, [BF] Cap. 11, [SB] Cap. 7.

Tema 12. Autovalores y autovectores

12.1. Problemas de autovalores en problemas de vibraciones
12.2. Polinomio característico y teorema de Gerschgorin
12.3. Método de la potencia
12.4. Ortogonalización de Gram-Schmidt
12.5. Método de Jacobi
12.6. Método de factorización QR
12.7. Método de Householder
 
 [KCh] Cap. 5.1-5, [FMM] Cap. 9.2-5, [CdB] Cap. 3.9-11, [BF] Cap. 9, [SB] Cap. 6.

Bibliografía complementaria recomendada

[CdB] S.D. Conte & C. de Boor, "Elementary Numerical Analysis," McGraw-Hill, New York, 1980. Traducido por McGraw-Hill Iberoamericana. A. Politecnica FT-J/116-118 (3).

[BF] R.L. Burden & J.D. Faires, "Numerical Analysis," (5th. edition), Prindler, Weber and Schmidt, Boston, Massachusetts, 1993. La tercera edición ha sido traducida al castellano por Grupo Editorial Iberoamérica, 1985. A. Politécnica FT X/405, T/526, I/207, Z/399-400 (4).

[FMM] G.E. Forsythe, M.A. Malcolm & C.B. Moler, "Computer Methods for Mathematical Computations," Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1977. FT V/210.

A. Ralston & P. Rabinowitz, "A First Course in Numerical Analysis," McGraw-Hill, New York, 1978. Traducido al castellano. A. Ciencias FC 519.6/RAL (2 ej.).

[SB] J. Stoer & R. Burlisch, "Introduction to Numerical Analysis," (2nd. edition), Springer-Verlag, New York, 1992. FT T/338, T/339, T/231 (3).

S.C. Chapra & R.P. Canale, "Numerical Methods for Engineers," (2nd. edition), McGraw-Hill, New York, 1988. FT T/195, P/142, T/196, T/248 (4).

C.F. Gerald & P.O. Wheatley, "Applied Numerical Analysis," (4th. edition), Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1989. FT P/87 (1).

J.M. Ortega, "Numerical Analysis: A Second Course," SIAM, Philadelphia, Pennsylvannia, 1990. FT J/268-70 (3).

G.H. Golub & C.F. Van Loan, "Matrix Computations," (2nd. edition), The Johns Hopkins University Press, Baltimore, Maryland, 1989. A. Econom. FE 5/2950, A. Ingen. EIM-4-c/G.

P.J. Davis, "Interpolation and Approximation," Dover Publications, New York, 1975. FT R/376 (1).

J.D. Lambert, "Computational Methods in Ordinary Differential Equations," John Wiley & Sons, New York, 1973. Dpto. Anal. Mat. FCCP, Dpto. Leng. CC. Comput. EI LC/7.
 
 

Epílogo

Las tendencias actuales en una enseñanza universitaria de calidad dan menos importancia que antes a la transmisión de unos contenidos, por lo demás en continuo cambio y revisión, y expresan, en cambio, mayor interés por la adquisición, por parte del alumno, de técnicas y hábitos de estudio, de capacidad de análisis crítico, de inventar y descubrir, etc. En suma, ponen el énfasis en que el estudiante aprenda a aprender.

R.N. Delgado, C. B. González
UNED, Ciencias Físicas, Guía del curso 92/93